Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函數(shù)f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$ 的圖象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達(dá)式；
（2）并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n． 分別令n=1，2，3，即可求出a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的表達(dá)式，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立即可

解答 解（1）：因?yàn)辄c(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函數(shù)f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$ 的圖象上，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=n+$\frac{{a}_{n}}{2n}$，∴S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．         
令n=1，得a₁=1+$\frac{1}{2}$a₁，∴a₁=2；
令n=2，得a₁+a₂=4+$\frac{1}{2}$a₂，∴a₂=4；
令n=3，得a₁+a₂+a₃=9+$\frac{1}{2}$a₃，∴a₃=6；
由此猜想：a_n=2n．                
（2）證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上面的求解知，猜想成立．    
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即：a_k=2k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，
故S_k+1=（k+1）²+$\frac{1}{2}$a_k+1，S_k=k²+$\frac{1}{2}$a_k，
兩式相減，得a_k+1=2k+1+$\frac{1}{2}$a_k+1-$\frac{1}{2}$a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k，
由歸納假設(shè)得，a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-2k=2（k+1）．
這說明n=k+1時(shí)，猜想也成立．        
由①②知，對(duì)一切n∈N^*，a_n=2n成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，通過猜想再證明的方法求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．