Question

4．某校高一年級(jí)部分班級(jí)開展教改實(shí)驗(yàn)，某次水平測試后，從實(shí)驗(yàn)班和非實(shí)驗(yàn)班各隨機(jī)抽取45名學(xué)生，其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表（未完成）：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
實(shí)驗(yàn)班		25	45
非實(shí)驗(yàn)班	10		45
總計(jì)			90

（1）請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教改實(shí)驗(yàn)有關(guān)系”；
（2）從上表全部90人中有放回抽取4次，每次抽取1人，記被抽取的4人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）確定2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）完成列聯(lián)表…（2分）

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
實(shí)驗(yàn)班	20	25	45
非實(shí)驗(yàn)班	10	35	45
總計(jì)	30	60	90

K²=$\frac{90×（25×10-20×35）}{45×45×30×60}$=5＞3.841…（4分）
所以，按照95%的可靠性要求，能夠判斷成績與課改有關(guān)…（5分）
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4…（6分）
由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到優(yōu)秀的概率P=$\frac{30}{90}$=$\frac{1}{3}$，…（7分）
依題意，ξ～B（4，$\frac{1}{3}$）…（8分）
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}$（$\frac{1}{3}$）⁰（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$；P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$（$\frac{1}{3}$）¹（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{32}{81}$；
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$；P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{3}$）³（$\frac{2}{3}$）¹=$\frac{8}{81}$；
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{3}$）⁴（$\frac{2}{3}$）⁰=$\frac{1}{81}$．…（10分）
所以，ξ的分布列為：…（11分）

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{1}{81}$

根據(jù)二項(xiàng)分布期望E（ξ）=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．