Question

已知直線l的參數(shù)方程：

x=1+tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程：

x= 2 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），且直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并求θ=

π

4

時(shí)，|AB|的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P：（1，0），求當(dāng)直線傾斜角θ變化時(shí)，|PA|•|PB|的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，求出直線AB的方程，代入

x2

2

+y2=1，可得3x²-4x=0，即可求出|AB|的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）直線參數(shù)方程代入

x2

2

+y2=1，A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，則|PA|•|PB|=-t₁t₂，即可求出|PA|•|PB|的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程：

x= 2 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），曲線C的普通方程為

x2

2

+y2=1．
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，直線AB的方程為，y=x-1，
代入

x2

2

+y2=1，可得3x²-4x=0，∴x=0或x=

4

3

∴|AB|=

1+1

•

4

3

=

4

3

2

；
（Ⅱ）直線參數(shù)方程代入

x2

2

+y2=1，得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=

1

cos2θ+2sin2θ

=

1

1+sin2θ

∈[

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了參數(shù)方程化成普通方程，熟練掌握參數(shù)方程與直角坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵．