Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的離心率為2，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為

3

．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x-my-2=0與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在右準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)C，當(dāng)m變化時(shí)，試研究直線AC是否過定點(diǎn)，并寫出判斷依據(jù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）取雙曲線的漸近線y=

b

a

x，由于右焦點(diǎn)（c，0）到一條漸近線的距離為

3

．可得

bc

a2+b2

=

3

，化為b=

3

．
又e=

c

a

=2，c²=a²+3，解得即可．
（II）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)m=0時(shí)，可得AB的方程：x=2．可得直線AC的方程為y+3=

6

- 3 2

(x-2)，令y=0，可得x=

5

4

．猜想直線AC過定點(diǎn)M(

5

4

，0)．再證明直線AM過C點(diǎn)即可．

解答： 解：（I）取雙曲線的漸近線y=

b

a

x，∵右焦點(diǎn)（c，0）到一條漸近線的距離為

3

．
∴

bc

a2+b2

=

3

，化為b=

3

．
又∵e=

c

a

=2，c²=a²+3，解得a²=1，c=2．
∴雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x-my-2=0 3x2-y2=3

，化為（3m²-1）y²+12my+9=0，
y₁+y₂=-

12m

3m2-1

，y₁y₂=

9

3m2-1

．
∵雙曲線的右準(zhǔn)線為：x=

1

2

．
∴C(

1

2

，y2)．
當(dāng)m=0時(shí)，可得AB的方程：x=2．
可得A（2，-3），B（2，3），C(

1

2

，3)，
直線AC的方程為y+3=

6

- 3 2

(x-2)，化為4x+y-5=0，
令y=0，可得x=

5

4

．
猜想直線AC過定點(diǎn)M(

5

4

，0)．
直線AP的方程為：y=

y1

x1- 5 4

(x-

5

4

)，
令x=

1

2

，化為y=

3y1

5-4x1

=

3y1

-3-4my1

，
∵3y₁+（3+4my₁）y₂=3（y₁+y₂）+4my₁y₂=

-36m

3m2-1

+

36m

3m2-1

=0，
∴y=

3y1

-3-4my1

=y₂，
因此直線AM與準(zhǔn)線x=

1

2

相交于點(diǎn)(

1

2

，y2)，即點(diǎn)C．
∴三點(diǎn)A，M，C共線．
綜上可得：直線AC過定點(diǎn)M(

5

4

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線方程與雙曲線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、直線過定點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．