Question

12．已知f（x）=2^x-4^x
（1）若x∈[-2，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1]的單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x，則t＞0，f（x）=y=t-t²，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得函數(shù)的值域；
（2）當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，t=2^x∈（0，$\frac{1}{2}$]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則，可得結(jié)論．

解答 解：（1）令t=2^x，則t＞0，f（x）=y=t-t²，
∵y=t-t²的圖象是開口朝下，且以直線t=$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=-1時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{1}{4}$，無最小值，
故函數(shù)的f（x）的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{4}$]；
證明：（2）∵x∈（-∞，-1]時(shí)，t=2^x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
此時(shí)t=2^x為增函數(shù)，y=t-t²也為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則，可得：
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1]的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，換元法，難度中檔．