Question

9．函數f（x）=a^x-x²（a＞1）有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$．

Answer 1

分析 x＜0時，必有一個交點，x＞0時，由a^x-x²=0，可得lna=$\frac{2lnx}{x}$，構造函數，確定函數的單調性，求出1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$時有兩個交點，即可得出結論．

解答 解：x＞0時，由a^x-x²=0，可得a^x=x²，∴xlna=2lnx，
∴l(xiāng)na=$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}$=0，可得x=e，
∴函數在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{2}{e}$，
∴l(xiāng)na＜$\frac{2}{e}$，
∴1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$時有兩個交點；
又x＜0時，必有一個交點，
∴1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$時，函數f（x）=a^x-x²（a＞1）有三個不同的零點，
故答案為：1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$．

點評 本題考查函數的零點，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．