Question

18．梯形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，點P為梯形所在平面內一點，滿足：$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$，若△ABC的面積為1，則△PCD的面積為1．

Answer 1

分析 先根據向量的減法、加法運算將等式中的向量都用P為起點的向量來表示，然后化簡已知，最終確定出P點的位置，再根據已知的三角形與所求的三角形底邊、高之間的關系求出所求

解答 解：由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}$得：
$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，所以P點是AC的中點．所以${h}_{△PCD}={\frac{1}{2}h}_{△ABC}$．
因為梯形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，
所以${S}_{△PCD}=\frac{1}{2}CD×{h}_{△PCD}=\frac{1}{2}×2AB×\frac{1}{2}$×h_△ABC=S_△ABC=1．
故答案為1．

點評 本題考查了向量的運算及其幾何意義，化歸思想的應用以及三角形的面積公式．