Question

10．如圖，AA₁B₁B是圓柱的軸截面，C是底面圓周上異于A，B的一點，AA₁=AB=2．
（1）求證：平面AA₁C⊥平面BA₁C；
（2）若AC=BC，求幾何體A₁-ABC的體積V．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面AA₁C，即可證明平面AA₁C⊥平面BA₁C；
（2）求出AC，直接利用體積公式求解即可．

解答 （1）證明：因為C是底面圓周上異于A，B的一點，AB是底面圓的直徑，
所以AC⊥BC．
因為AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
而AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面AA₁C．
又BC?平面BA₁C，所以平面AA₁C⊥平面BA₁C．…（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，則由AB²=AC²+BC²且AC=BC，
得$AC=BC=\sqrt{2}$，
所以${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•2=\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定，考查平面與平面垂直，考查幾何體A₁-ABC的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．