Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，且a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比數(shù)列．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式．
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₁=1將a₃、a₄、a₁₁用d表示出來(lái)，進(jìn)而利用a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比數(shù)列得出關(guān)于d的方程，計(jì)算可知公差d=$\frac{3}{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_2n=3n-$\frac{1}{2}$、a_2n+1-a_2n-1=3，利用T_n=（a₃-a₁）a₂+（a₅-a₃）a₄+…+（a_2n+1-a_2n-1）a_2n，分組計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）記等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=1可知，
a₃=1+2d，a₄+$\frac{5}{2}$=1+3d+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$+3d，a₁₁=1+10d，
又∵a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比數(shù)列，
∴$（\frac{7}{2}+3d）^{2}$=（1+2d）（1+10d），
整理得：11d²-9d-$\frac{45}{4}$=0，
解得：d=$\frac{3}{2}$或d=-$\frac{15}{22}$（舍），
∴數(shù)列{a_n}的是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{3}{2}$的等差數(shù)列，
故其通項(xiàng)公式a_n=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$，a_2n=3n-$\frac{1}{2}$，a_2n+1-a_2n-1=3，
∴T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=（a₃-a₁）a₂+（a₅-a₃）a₄+…+（a_2n+1-a_2n-1）a_2n
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3（a₂+a₄+…+a_2n）
=3•$\frac{n（3-\frac{1}{2}+3n-\frac{1}{2}）}{2}$
=$\frac{9}{2}$n²+3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分組法求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．