Question

19．若函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$的定義域為（-1，1）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，即可判斷；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（-x）=$\frac{-ax}{1-{x}^{2}}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵f（x）=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（1+{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$，
∴a＞0，函數(shù)在（-1，1）上f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
a＜0，函數(shù)在（-1，1）上f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，屬于中檔題．