Question

20．設(shè)集合A={x|ax²-ax+1＜0}，B={x|x≥1}，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出不等式ax²-ax+1＜0的解集，結(jié)合A∩B=∅，求出a的范圍即可．

解答 解：①a=0時(shí)，1＜0不成立，A=∅，故A∩B=∅，a=0成立，
②0＜a＜4時(shí)，對(duì)于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a＜0，f（x）＞0恒成立，
故A=R，A∩B=B，不滿足A∩B=∅，
③a=4時(shí)，對(duì)于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a=0，f（x）≥0恒成立，
A={x|x≠$\frac{1}{2}$}，A∩B=B，不滿足A∩B=∅，
④a＞4時(shí)，對(duì)于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a＞0，
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，
不等式ax²-ax+1＜0的解集是（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$），而$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$＞1，
故A∩B≠∅，不合題意，
⑤a＜0時(shí)，不等式ax²-ax+1＜0的解集是（-∞，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，+∞），而$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$＞1，
故A∩B={x|x≥$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$}，A∩B≠∅，不合題意，
綜上，a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空集的定義，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．