Question

13．設(shè)正數(shù)x、y滿足x＞y，x+2y=3，則$\frac{1}{x-y}$+$\frac{9}{x+5y}$的最小值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先結(jié)合題意整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得代數(shù)式的最大值，注意均值不等式中等號成立的條件．

解答 解：正數(shù)x，y滿足：x＞y，x+2y=3，則2x+4y=6，據(jù)此有：
$\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}$
=$\frac{1}{6}[（x-y）+（x+5y）]（\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}）$
=$\frac{1}{6}（10+\frac{x+5y}{x-y}+9×\frac{x-y}{x+5y}）$
≥$\frac{1}{6}$×（10+2$\sqrt{\frac{x+5y}{x-y}×9×\frac{x-y}{x+5y}}$）
=$\frac{8}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng) $x=2，y=\frac{1}{2}$時等號成立．
即$\frac{1}{x-y}+\frac{9}{x+5y}$ 的最小值為 $\frac{8}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$

點評 本題考查了最值問題，均值不等式的應(yīng)用，整體思想等，屬于�？碱}目．