Question

6．設(shè)f（x）=e^x-1，當(dāng)x＞-1時(shí)，證明：f（x）＞$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的等價(jià)條件轉(zhuǎn)化為證明e^x＞2x，恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-2x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可．

解答 解：∵當(dāng)x＞-1時(shí)，不等式f（x）＞$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x+1}$等價(jià)為e^x-1＞$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x+1}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x+1}$=2x-1，
即e^x＞2x，即e^x-2x＞0恒成立，
設(shè)函數(shù)h（x）=e^x-2x（x∈R），
∴h′（x）=e^x-2；
令h′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，h′（x）＜0，
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值h（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
同時(shí)也是最小值，
在當(dāng)x＞-1時(shí)，h（x）≥h（ln2）=2-2ln2＞0，
即e^x-2x＞0，即e^x＞2x，
則不等式f（x）＞$\frac{2{x}^{2}+x-1}{x+1}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的證明，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．也考查運(yùn)算求解能力以及邏輯推理能力綜合性較強(qiáng)．