Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍
（2）若函數(shù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f′（x）=2x²-4ax-3，所以若函數(shù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，則f′（x）≤0在（-1，1）內(nèi)恒成立，所以

f′(1)=-4a-1≤0 f′(-1)=4a-1≤0

，解不等式組即得a的取值范圍；
（2）令f′（x）=0，容易判斷該方程在R上有兩個不同實根，而若函數(shù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，則該方程在（-1，1）內(nèi)只有一個解，所以得到f′（-1）•f′（1）＜0，解不等式即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）f'（x）=2x²-4ax-3≤0在（-1，1）內(nèi)恒成立；
∴

f′(1)≤0 f′(-1)≤0

，即

-4a-1≤0 4a-1≤0

；
解得-

1

4

≤a≤

1

4

；
∴a的取值范圍為[-

1

4

，

1

4

]；
（2）令f'（x）=2x²-4ax-3=0；
∵△=16a²+24＞0；
∴該方程有兩個不同實根；
若函數(shù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，則該方程在（-1，1）內(nèi)只有一個解；
∴f'（-1）•f'（1）＜0，即1-16a²＜0，解得：
a＜-

1

4

或a＞

1

4

；
∴a的取值范圍為(-∞，-

1

4

)∪(

1

4

，+∞)．

點(diǎn)評：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及對二次函數(shù)圖象的掌握，函數(shù)極值的概念，函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的取值情況．