Question

7．設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k，（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，若對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則k的取值范圍為（　�。�

• A． R
• B． [-4，0]
• C． [9，33]
• D． [-33，-9]

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，可得函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0時，兩段的函數(shù)值相等，且函數(shù)在y軸兩次必須是單調(diào)的，進而可得答案．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k，（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，
則x=0時，f（x）=a²-k，
又由對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0時，兩段的函數(shù)值相等，
∴（3-a）²=a²-k，即-6a+9+k=0，即k=6a-9，
且函數(shù)在y軸兩側(cè)必須是單調(diào)的，
∴二次函數(shù)的對稱軸x=-$\frac{{a}^{2}+4a}{2}$≥0，
解得：-4≤a≤0，
∴-33≤6a-9≤-9，
∴k∈[-33，-9]，
故選：D

點評 本題考查了存在性問題，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，是函數(shù)與不等式的綜合應用，難度中檔．