Question

12．如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．
（1）求證：BD⊥平面PAC；    
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=90°，AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．可得AB=2．于是矩形ABCD是正方形，可得BD⊥AC．利用線面垂直的性質(zhì)可得：PA⊥BD，即可證明：BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，利用三垂線定理可得：CD⊥PD，于是∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：∵∠BAD=90°，AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．∴$AB=\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2．
∴矩形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．
在Rt△PAD中，tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=1，
∴∠PDA=45°．
∴二面角P-CD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形與正方形的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)與判定定理、三垂線定理、二面角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．