Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx（a＞1）．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 若a=2，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）若首項(xiàng)a₁=10，證明數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列；
（2）若首項(xiàng)為正整數(shù)，且數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求首項(xiàng)a₁的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)a討論，當(dāng)a=2，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=2，則$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法即可證得；
（2）由（1）知：當(dāng)且僅當(dāng)0＜a₁＜a₂，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，f（a₁）＞a₁，即$\frac{1}{2}{a_1}^2-3{a_1}+ln{a_1}＞0$（a₁為正整數(shù)），設(shè)$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+lnx$（x≥1），求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，即可得到首項(xiàng)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+（{a-1}）lnx$，
∴$f'（x）=\frac{{{x^2}-ax+a-1}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x+1-a}）}}{x}$（x＞0），
當(dāng)a=2時(shí)，則$f'（x）=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若x∈（a-1，1），則f′（x）＜0，若x∈（0，a-1）或x∈（1，+∞），則f′（x）＞0，
當(dāng)a＞2時(shí)，若x∈（1，a-1），則f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a-1，+∞），則f′（x）＞0，
綜上所述：當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，1）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）若a=2，則$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（1）因?yàn)閍₁=10，所以a₂=f（a₁）=f（10）=30+ln10，可知a₂＞a₁＞0，
假設(shè)0＜a_k＜a_k+1（k≥1），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（a_k+1）＞f（a_k），即得a_k+2＞a_k+1＞0，
由數(shù)學(xué)歸納法原理知，a_n+1＞a_n對(duì)于一切正整數(shù)n都成立，
∴數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列．
（2）由（1）知：當(dāng)且僅當(dāng)0＜a₁＜a₂，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴f（a₁）＞a₁，即$\frac{1}{2}{a_1}^2-3{a_1}+ln{a_1}＞0$（a₁為正整數(shù)），
設(shè)$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+lnx$（x≥1），則$g'（x）=\frac{{{x^2}-3x+1}}{x}$，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間$（\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞）$上遞增，
由于$g（5）=ln5-\frac{5}{2}＜0$，g（6）=ln6＞0，又a₁為正整數(shù)，
∴首項(xiàng)a₁的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．