Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≥k-g（x）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（Ⅱ）由f（x）≥k-g（x）恒成立得f（x）+g（x）≥k，設(shè)F（x）=f（x）+g（x），再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=e^x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
從而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），
由f（x）≥k-g（x）恒成立得f（x）+g（x）≥k恒成立，
設(shè)F（x）=f（x）+g（x）=2e^x（x+1）+x²+4x+2，
則F′（x）=2e^x（x+2）+2x+4=2（x+2）（e^x+1），
由F′（x）＞0得x＞-2，由F′（x）＜0得x＜-2，
即當(dāng)x=-2時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值，
此時(shí)F（-2）=2e^-2（-2+1）+（-2）²+4×（-2）+2=-2e^-2-2，
則k≤-2e^-2-2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．