Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=ax-lnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：對于區(qū)間（0，e]（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的任意兩個(gè)值x₁，x₂，總有g(shù)（x₁）＞f（x₂）+$\frac{1}{2}$；
（3）若g（x）在（0，e]上的最小值為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出[f（x）+$\frac{1}{2}$]_max=$\frac{1}{2}$，g（x）_min=g（1）=1，即可證明結(jié)論；
（3）g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，e），利用g（x）在（0，e]上的最小值為3，求a的值．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）；
（2）證明：由（1）知，f（x）_max=f（1）=0，∴[f（x）+$\frac{1}{2}$]_max=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x-lnx，∴g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），
∴g（x）_min=g（1）=1，
∵1＞$\frac{1}{2}$，
∴對于區(qū)間（0，e]（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的任意兩個(gè)值x₁，x₂，總有g(shù)（x₁）＞f（x₂）+$\frac{1}{2}$；
（3）解：∵g（x）=ax-lnx，
∴g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
∴a＞0，x∈（0，$\frac{1}{a}$），g′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{a}$，e），g′（x）＞0，
∴g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，e），
∵g（x）在（0，e]上的最小值為3，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$=3，
∴a=e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．