Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k（k∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為12，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)k＜0，g（x）=f′（x），求F（x）=g（x²）在區(qū)間（0，$\sqrt{2}$）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得k=4，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（2）求出g（x）和F（x）的解析式，令t=x²∈（0，2]，可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+kx，
由題意可得f′（2）=4+2k=12，解得k=4，
即有f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+4，f′（x）=x²+4x，
當(dāng)x＞0或x＜-4時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）的極小值為f（0）=4；f（x）的極大值為f（-4）=$\frac{44}{3}$；
（2）F（x）=x⁴+kx²，t=x²∈（0，2]，
可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，
①當(dāng)-4＜k＜0時(shí)，-$\frac{k}{2}$∈（0，2），h（t）_min=h（-$\frac{k}{2}$）=-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
②當(dāng)k≤-4時(shí)，-$\frac{k}{2}$∈[2，+∞），h（t）在（0，2）遞減，h（t）_min=h（2）=4+2k．
綜上可得，h（t）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{k}^{2}}{4}，-4＜k＜0}\\{4+2k，k≤-4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和分類討論的思想方法，屬于中檔題．