Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k（k∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為12，求函數f（x）的極值；
（2）設k＜0，g（x）=f′（x），求F（x）=g（x²）在區(qū)間（0，$\sqrt{2}$）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，解方程可得k=4，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0可得減區(qū)間，進而得到極值；
（2）求出g（x）和F（x）的解析式，令t=x²∈（0，2]，可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，討論對稱軸和區(qū)間的關系，結合單調性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$kx²+k的導數為f′（x）=x²+kx，
由題意可得f′（2）=4+2k=12，解得k=4，
即有f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+4，f′（x）=x²+4x，
當x＞0或x＜-4時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-4＜x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）的極小值為f（0）=4；f（x）的極大值為f（-4）=$\frac{44}{3}$；
（2）F（x）=x⁴+kx²，t=x²∈（0，2]，
可得F（x）=h（t）=t²+kt=（t+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$，k＜0，t=-$\frac{k}{2}$＞0，
①當-4＜k＜0時，-$\frac{k}{2}$∈（0，2），h（t）_min=h（-$\frac{k}{2}$）=-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
②當k≤-4時，-$\frac{k}{2}$∈[2，+∞），h（t）在（0，2）遞減，h（t）_min=h（2）=4+2k．
綜上可得，h（t）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{k}^{2}}{4}，-4＜k＜0}\\{4+2k，k≤-4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值，考查可化為二次函數的最值的求法，注意運用換元法和分類討論的思想方法，屬于中檔題．