Question

6．已知圓O的半徑為2，A，B是圓O上任意兩點(diǎn)，且∠AOB=120°，PQ是圓O的一條直徑，若點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}=3λ\overrightarrow{OA}+3（{1-λ}）\overrightarrow{OB}（{λ∈R}）$，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)P（2cosθ，2sinθ），Q（-2cosθ，-2sinθ），這樣根據(jù)$\overrightarrow{OC}=3λ\overrightarrow{OA}+3（1-λ）\overrightarrow{OB}$即可求出向量$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．這樣即可求出$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{CQ}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可得到$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=4（27{λ}^{2}-27λ+8）$，從而根據(jù)二次函數(shù)最值的計(jì)算公式便可求出4（27λ²-27λ+8）的最小值，即求出$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的最小值．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：
$A（-1，\sqrt{3}），B（2，0）$；
根據(jù)題意，設(shè)P（2cosθ，2sinθ），Q（-2cosθ，-2sinθ）；
$\overrightarrow{OC}=3λ（-1，\sqrt{3}）+3（1-λ）（2，0）$=$（6-9λ，3\sqrt{3}λ）$；
∴$C（6-9λ，3\sqrt{3}λ）$；
∴$\overrightarrow{CP}=（2cosθ+9λ-6，2sinθ-3\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{CQ}=（-2cosθ+9λ-6，-2sinθ-3\sqrt{3}λ）$；
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=（9λ-6）^{2}-4co{s}^{2}θ$+27λ²-4sin²θ
=4（27λ²-27λ+8）$≥4×\frac{4×27×8-2{7}^{2}}{4×27}=5$．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的最小值為5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)最值的計(jì)算公式．