Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tlnx，t＞0
（Ⅰ）若t=1，求曲線f（x）在x=1處的切線方程
（Ⅱ）當(dāng)t＞e時，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）內(nèi)的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出t=1，f（x）=x²-2lnx，求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最值，求出f（1）＞0，f（e），討論t的范圍，由函數(shù)零點存在定理，即可判斷零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）若t=1，則f（x）=x²-2lnx，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
f（x）在x=1處的切線斜率為2-2=0，
切點為（1，1），
可得f（x）在x=1處的切線方程為y=1；
（Ⅱ）f′（x）=2x-$\frac{2t}{x}$=$\frac{2（x+\sqrt{t}）（x-\sqrt{t}）}{x}$，x＞0，
當(dāng)x＞$\sqrt{t}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{t}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\sqrt{t}$處取得最小值f（$\sqrt{t}$）=t-tlnt，
由t＞e，可得lnt＞1，即有f（$\sqrt{t}$）＜0，
又f（1）=1＞0，f（e）=e²-2t，
由f（e）＞0，可得e＜t＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，則f（x）在（1，e）內(nèi)有兩個零點；
由f（e）≤0，可得t≥$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（x）在（1，e）內(nèi)有一個零點．
綜上可得，當(dāng)e＜t＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（x）在（1，e）內(nèi)有兩個零點；
當(dāng)t≥$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（x）在（1，e）內(nèi)有一個零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法以及函數(shù)零點存在定理，屬于中檔題．