Question

1．在“2016”的logo設計中，有這樣一個圖案，其由線段l、拋物線弧E及圓C三部分組成，對其進行代數(shù)化的分析，如圖建系，發(fā)現(xiàn)：圓C方程為（x-4）²+y²=16，拋物線弧E：y²=2px（y≥0，0≤x≤8），若圓心C恰為拋物線y²=2px的焦點，線段l所在的直線恰為拋物線y²=2px的準線．
（Ⅰ）求p的值及線段l所在的直線方程；
（Ⅱ）P為圓C上的任意一點，過P作圓的切線交拋物線弧E于A、B兩點，問是否存在這樣的點P，使得弦AB在l上的投影長度與圓C的直徑之比為4：3？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圓的圓心，以及拋物線的焦點坐標，可得p=8，進而得到拋物線的準線方程，即有直線l的方程；
（Ⅱ）假設存在這樣的P點，滿足條件．設P（x₀，y₀），由切線的性質(zhì)可得切線的斜率，進而得到切線方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去x，可得y的二次方程，運用韋達定理，弦長公式，化簡整理，求得P的坐標和A，B的縱坐標，即可判斷不存在．

解答 解：（Ⅰ）圓C方程為（x-4）²+y²=16的圓心為（4，0），
拋物線y²=2px的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得$\frac{p}{2}$=4，解得p=8；
拋物線y²=16x的準線為x=-4，
由題意可得直線l：x=-4；
（Ⅱ）假設存在這樣的P點，滿足條件．設P（x₀，y₀），
由切線的性質(zhì)可得切線的斜率為k=-$\frac{{x}_{0}-4}{{y}_{0}}$，
且（x₀-4）²+y₀²=16，
則切線方程為（x₀-4）（x-4）+y₀y=16，
聯(lián)立拋物線的方程y²=16x，消去x，可得
$\frac{{x}_{0}-4}{16}$y²+y₀y-4x₀=0，即有y_A+y_B=-$\frac{16{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$，y_Ay_B=-$\frac{64{x}_{0}}{{x}_{0}-4}$，
由|MN|=|y_A-y_B|=$\sqrt{\frac{256{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-4）^{2}}+\frac{256{x}_{0}}{{x}_{0}-4}}$=$\frac{\sqrt{4{x}_{0}}}{|\frac{{x}_{0}-4}{16}|}$=$\frac{32}{3}$，
解得x₀=1，y₀=$\sqrt{7}$，即P（1，$\sqrt{7}$），
解得y_A，或y_B=$\frac{8}{3}$（$\sqrt{7}$±2），
拋物線弧右上端點坐標為（8，8$\sqrt{2}$），且$\frac{8}{3}$（$\sqrt{7}$+2）＞8$\sqrt{2}$，
故此時P不滿足條件，這樣的點P不存在．

點評 本題考查拋物線的方程和直線方程的求法，注意運用圓方程，考查存在性問題的解法，注意運用圓的切線的方程，以及拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．