Question

6．設(shè)奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x²，若f（1-m）-f（m）≥$\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{1}{3}{x^3}$，由f（x）是奇函數(shù)，g（-x）+g（x）=0，可知g（x）是奇函數(shù)，求導(dǎo)判斷g（x）的單調(diào)性，$f（1-m）-f（m）≥\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，即g（1-m）≥g（m），解得m的取值范圍．

解答 解：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{3}{x^3}$，
∵$g（-x）+g（x）=f（-x）-\frac{1}{3}{（-x）^3}+f（x）-\frac{1}{3}{x^3}=0$，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
∵x∈（0，+∞）時，
g′（x）=f′（x）-x²＜0，
函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）為減函數(shù)，
又由題可知，f（0）=0，g（0）=0，
所以函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)，
$f（1-m）-f（m）≥\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，即g（1-m）≥g（m），
∴1-m≤m，
∴$m≥\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查判斷函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．