Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]的值域是（　　）

• A． {0，-1}
• B． {0，1}
• C． {-1，1}
• D． {-1，0，1}

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，分離，根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，討論即可得值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$1-\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
當(dāng)x＞0時，2＜4^x+1，$\frac{1}{2}$＜f（x）＜1，則函數(shù)y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此時y=1；
當(dāng)x＜0時，1＜4^x+1＜2，0＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，則函數(shù)y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此時y=0；
當(dāng)=0時，4^x+1=2，f（x）=$\frac{1}{2}$，則函數(shù)y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此時y=1．
f（x）的值域是{0，1}．
故選B

點評 本題考查函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性及其特點，考查學(xué)生分類討論的思想，是中檔題