Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1
（1）若函數(shù)f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b，f′（1）=-3+2a+b=-3，f（1）=-1+a+b+c=-2，f′（-2）=-12-4a+b=0，由此能求出f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）由（1）知

2a+b=0 a+b+c=-1

，從而a=-

b

2

，c=-1-

b

2

，進而f′（x）=-3x²-bx+b，由此結(jié)合已知條件能求出實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵圖象上的點P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，①
又f（1）=-1+a+b+c=-2，得a+b+c=-1，②
又函數(shù)f（x）在x=-2時有極值，
∴f′（-2）=-12-4a+b=0．③
聯(lián)立①②③，得：a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）由（1）知

2a+b=0 a+b+c=-1

，∴a=-

b

2

，c=-1-

b

2

，
∴f′（x）=-3x²-bx+b，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=-3x²-bx+b≤0的解集為[-2，0]，
∴-

b

6

≤0，解得b≥0．
∴實數(shù)b的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．