Question

20．已知數(shù)列{a_n}各項都是正數(shù)，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+3n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{{2}^{n}•{a}_{n}}{n+1}$（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出n=1的首項，將n換為n-1相減可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）化簡b_n=4（n+1）•2ⁿ，再由錯位相減法，可得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=1+3，
即有a₁=2，
當(dāng)n＞1時，$\sqrt{{a}_{n}}$=（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）-（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$）
=n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=2n+2，
則有a_n=（2n+2）²，
對n=1也成立．
則有a_n=（2n+2）²；
（2）令b_n=$\frac{{2}^{n}•{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n}•4（n+1）^{2}}{n+1}$
=4（n+1）•2ⁿ，
即有前n項和S_n=4（2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2ⁿ），
2S_n=4（2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹），
兩式相減可得-S_n=4（4+4+8+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹）
=4（4+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹）
=-n•2ⁿ⁺³，
則有S_n=n•2ⁿ⁺³．

點評 本題主要考查數(shù)列的通項的求法和求和的方法：錯位相減法，同時考查等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．