Question

13．定義區(qū)間（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的長(zhǎng)度均為d=b-a，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[3.2]=3，[-2.3]=-3．記{x}=x-[x]，設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間長(zhǎng)度，則當(dāng)0≤x≤3時(shí)有（　�。�

• A． d=1
• B． d=2
• C． d=3
• D． d=4

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡(jiǎn)f（x）＜（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集的長(zhǎng)度．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集為[2，3]，故d=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中當(dāng)題．