Question

13．定義區(qū)間（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的長度均為d=b-a，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.2]=3，[-2.3]=-3．記{x}=x-[x]，設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間長度，則當0≤x≤3時有（　�。�

• A． d=1
• B． d=2
• C． d=3
• D． d=4

Answer 1

分析 先化簡f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡f（x）＜（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，3]時，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時的解集的長度．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當x∈[2，3]時，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時的解集為[2，3]，故d=1，
故選：A．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中當題．