Question

18．如圖所示的幾何體中，底面ABCD是矩形，AB=9，BC=6，EF∥平面ABCD，EF=3，△ADE和△BCF都是正三角形，求幾何體EFABCD的體積．

Answer 1

分析 過F，E做與平面ABCD垂直的平面，這個平面把幾何體分割成三部分，包括一個三棱柱和兩個四棱錐，其中兩個四棱錐的體積相等，三者相加得到結果．

解答 解分別過E，F(xiàn)作平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，交線分別為MP，NQ．
∵△ADE和△BCF都是正三角形，AD=BC，∴AE=BF．
∵EF∥平面ABCD，∴EF∥AB∥CD．
∴四邊形ABFE，CDEF是等腰梯形．
∴CQ=NB=DP=AM=$\frac{1}{2}$（AB-EF）=3，F(xiàn)N=FQ=$\sqrt{F{B}^{2}-N{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
過F作FO⊥NQ于O，則FO⊥平面ABCD．且O為NQ的中點．
∴FO=$\sqrt{F{N}^{2}-N{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴V_E-ADPM=V_F-BCQN=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BCQN}•FO$=$\frac{1}{3}×3×6×3\sqrt{2}$=18$\sqrt{2}$．
V_EMP-FNQ=S_△FNQ•EF=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{2}×3$=27$\sqrt{2}$．
∴幾何體EFABCD的體積V=V_EMP-FNQ+V_E-ADPM+V_F-BCQN=63$\sqrt{2}$．

點評 題考查不規(guī)則幾何體的體積求法，通常將幾何體分解成規(guī)則幾何體計算體積．