Question

15．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²在區(qū)間（1，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，15]．

Answer 1

分析 首先，由$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率小于1，從而得到f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＜1在（2，3）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成 a＜2x²+3x+1在（2，3）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．

解答 解：∵$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$的幾何意義為：
表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（1，2）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)．
不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率小于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于1在（2，3）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＜1 在（2，3）內(nèi)恒成立．
即a＜2x²+3x+1在（2，3）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[2，3]上是單調(diào)增函數(shù)，
故 x=2時(shí)，y=2x²+3x+1在[2，3]上取最小值為15，
∴a≤15
則a的取值范圍是（-∞，15]．
故答案為：（-∞，15]．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的幾何性質(zhì)等知識，注意分離參數(shù)在求解中的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．