Question

3．求橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1在矩陣A=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$對應的變換作用下所得的曲線的方程．

Answer 1

分析 確定變換前后坐標之間的關系，代入橢圓方程，即可求出曲線的方程．

解答 解：設橢圓C上的點（x₁，y₁）在矩陣A對應的變換作用下得到點（x，y），
則$[{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&0\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}}][{\begin{array}{l}{x_1}\\{{y_1}}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x_1}}\\{\frac{1}{2}{y_1}}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$，…（5分）
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3x\\{y_1}=2y\end{array}\right.$代入橢圓方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得x²+y²=1，
所以所求曲線的方程為x²+y²=1．…（10分）

點評 本題考查矩陣變換，考查學生的計算能力，確定坐標之間的關系是關鍵．