Question

2．過(guò)點(diǎn)P（-2，1）引拋物線y²=4x的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，則直線PF與直線AB的斜率之和為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 先確定F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PF斜率k_PF，再求出兩個(gè)切點(diǎn)AB的坐標(biāo)，求出直線AB斜率k_AB，相加可得答案．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（-2，1），
故直線PF斜率k_PF=-$\frac{1}{3}$，
設(shè)點(diǎn)P（-2，1）與拋物線y²=4x相切的直線為：x+2=m（y-1），
則y²=4（my-m-2），即y²-4my+4m+8=0的△=16m²-16m-32=0，
解得：m=-1，或m=2，
當(dāng)m=-1時(shí)，方程y²-4my+4m+8=0可化為y²+4y+4=0，解得：y=-2，代入y²=4x得：x=1，
當(dāng)m=2時(shí)，方程y²-4my+4m+8=0可化為y²-8y+16=0，解得：y=4，代入y²=4x得：x=4，
即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，-2），B（4，4），所以k_AB=$\frac{4+2}{4-1}$=2，
從而${k_{PF}}+{k_{AB}}=\frac{5}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線的斜率，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．