Question

7．設函數f（x）=（ax²+x-1）e^x（a＜0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a=-1時，函數y=f（x）與g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m的圖象有三個不同的交點，求實數m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=ax（x+$\frac{2a+1}{a}$）e^x，從而分類討論以確定函數的單調性；
（2）當a=-1時，m=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²），再令h（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²），從而求導可得．

解答 解：（1）∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x
=（ax²+（2a+1）x）e^x
=ax（x+$\frac{2a+1}{a}$）e^x，
當a=$-\frac{1}{2}$時，f′（x）≤0恒成立，
故函數f（x）在R上單調遞減；
當a＜$-\frac{1}{2}$時，
x＜-$\frac{2a+1}{a}$時，f′（x）＜0；-$\frac{2a+1}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0；
故函數f（x）在（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$）上單調遞減，在（-$\frac{2a+1}{a}$，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減；
當$-\frac{1}{2}$＜a＜0時，
x＜0時，f′（x）＜0；0＜x＜-$\frac{2a+1}{a}$時，f′（x）＞0；當x＞-$\frac{2a+1}{a}$時，f′（x）＜0；
故函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，-$\frac{2a+1}{a}$）上單調遞增，在（-$\frac{2a+1}{a}$，+∞）上單調遞減；
（2）當a=-1時，
f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m），
故m=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²），
令h（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²），
則h′（x）=-（x²+x）e^x-（x²+x）=-x（x+1）（e^x+1），
故當x＜-1時，h′（x）＜0；當-1＜x＜0時，h′（x）＞0；當x＞0時，h′（x）＜0；
h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，h（0）=-1，
故-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1．

點評 本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用．