Question

12．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱B₁C₁，C₁D₁的中點(diǎn)，
（1）證明：E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；
（2）證明：面AB₁D₁∥面BC₁D．

Answer 1

分析 （1）只要證明EF∥BD即可；
（2）利用AD₁∥BC₁，得到AD₁∥面BC₁D，同理B₁D₁∥面BC₁D，由面面平行的判定定理可證．

解答 證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱B₁C₁，C₁D₁的中點(diǎn)，所以EF∥B₁D₁，
因?yàn)锽₁D₁∥BD，所以EF∥BD，
則EF與BD可以確定一個(gè)平面，即E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；
（2）因?yàn)锳D₁∥BC₁，AD₁?面BC₁D，所以AD₁∥面BC₁D，
同理B₁D₁∥面BC₁D，
又因?yàn)锳D₁∩B₁D₁=D₁，所以面AB₁D₁∥面BC₁D．

點(diǎn)評 本題以正方體為載體考查了線線關(guān)系、面面平行的判斷；考查學(xué)生的空間想象能力．