Question

14．《城市規(guī)劃管理意見》中提出“新建住宅原則上不再建設封閉住宅小區(qū)，已建成的住宅小區(qū)和單位大院逐步打開”，此消息在網(wǎng)上一石激起千層浪．各種說法不一而足，為了了解居民對“開放小區(qū)”認同與否，從[25，55]歲人群中隨機抽取了n人進行問卷調查，得如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)	分組	認同人數(shù)	認同人數(shù)占 本組人數(shù)比
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55）	15	0.3

（1）完成所給頻率分布直方圖，并求n，a，p．
（2）若從[40，45），[45，50）兩個年齡段中的“認同”人群中，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，然后從這9人中選2名作為組長，組長年齡在[40，45）內的人數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，利用已知條件能完成所給頻率分布直方圖，并能求出n，a，p．
（2）由[40，45）年齡段中認同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認同人數(shù)為30人，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設[25，30）年齡段人數(shù)為x人，
由題意$\frac{120}{x}=0.6$，解得x=200，
∵[25，30）年齡段人數(shù)的頻率為0.04×5=0.2，
∴$\frac{200}{n}=0.2$，解得n=1000．
∵[30，35）年齡段人數(shù)的頻率為：1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴[30，35）年齡段人數(shù)為0.3×1000=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65，
∵[40，45）年齡段人數(shù)的頻率為0.03×5=0.15，
∴[40，45）年齡段人數(shù)為0.15×1000=150，
∴a=150×0.4=60．
完成頻率分布直方圖如圖：
（2）由（1）得[40，45）年齡段中認同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認同人數(shù)為30人，
按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，
ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{12}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{12}$

Eξ=$0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{5}{12}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖、頻率分布列的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．