Question

15．設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，函數(shù)f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$），且f（A）=1．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）若a=1，求$\frac{1}$$+\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）令兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=$sin（x+\frac{π}{6}）$，f（A）=$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，且A∈（0，π），即可得出．
（II）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$）
=cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{6}）$，
∵f（A）=$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，且A∈（0，π），
∴$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=$^{2}+{c}^{2}-2bc×\frac{1}{2}$=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
$\frac{1}+\frac{1}{c}$$≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}$≥2，
∴$\frac{1}$$+\frac{1}{c}$的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．