Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a$（a為常數(shù)），函數(shù)f（x）圖象上橫坐標為1的點處的切線l，與函數(shù)g（x）的圖象相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)切點在f（x）圖象上求出切點坐標，求出f′（x）和切線的斜率f′（1），利用點斜式求出切線l的方程，聯(lián)立直線l的方程與g（x）是解析式，消去y列出方程，利用判別式與方程根的關(guān)系列出方程求出a的值；
（Ⅱ）由（I）求出h（x）和定義域，由求導(dǎo)公式和法則求出h′（x），求出臨界點后列出表格，由表格和極值的定義求出函數(shù)h（x）的極值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：切線l與y=f（x）圖象的切點為（1，f（1）），
∵切點（1，f（1））在f（x）=lnx圖象上，則f（1）=0，
∴切點為（1，0）…（2分）
又∵${f^'}（x）=\frac{1}{x}$，∴直線l的斜率為：f′（1）=1…（4分）
∴直線l的x-y-1=0…（5分）
∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組$\left\{{{\;}_{y=\frac{1}{2}{x^2}+a}^{y=x-1}}\right.$只有一個解x₀，即方程$\frac{1}{2}{x}^{2}-x+a+1=0$只有一個根，
∴△=1-4×$\frac{1}{2}$（a+1）=0，解得a=$-\frac{1}{2}$；       …（7分）
（Ⅱ）由（I）得，$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$，且定義域為（0，+∞）…（9分）
又$h'（x）=\frac{1}{x}-x=\frac{{1-{x^2}}}{x}$，令h′′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍去）…（11分）
當x變化時，h（x），h′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增↗	0	單調(diào)遞減↘

…（13分）
∴當x=1時，函數(shù)$x_0^2+{x_0}+1=0$有極大值，極大值為0，函數(shù)h（x）沒有極小值．…（14分）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算及法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．