Question

19．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD中，E、F分別是PD、AB的中點，且PA=AB=1，BC=2，
（1）求CD與AE所成的角大小；
（2）求證：直線AE∥平面PFC；
（3）求F到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）底面ABCD是矩形，可得CD⊥AD．利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥CD．再利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明．
（2）取PC的中點M，連接EM，F(xiàn)M．利用三角形中位線定理可得ME$\underset{∥}{=}$=$\frac{1}{2}$CD，又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，可得AF$\underset{∥}{=}$EM，再利用平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得AE∥FM，利用線面平行的判定定理即可證明AE∥平面PFC．
（3）PA⊥面ABCD，CB⊥AB，可得CB⊥PB．設(shè)F到平面PBC的距離為h．利用V_F-PBC=V_P-BFC，即$\frac{1}{3}×$S_△PBC•h=$\frac{1}{3}×$S_△BCF×PA．即可得出．

解答 （1）解：∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD中，
∴CD⊥AE，
∴CD與AE所成的角為90^°．
（2）證明：取PC的中點M，連接EM，F(xiàn)M．
又E點為PD的中點，∴ME$\underset{∥}{=}$=$\frac{1}{2}$CD，
又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴AF$\underset{∥}{=}$EM，
∴四邊形AFME是平行四邊形，
∴AE∥FM，又AE?平面PFC，F(xiàn)M?平面PFC，
∴直線AE∥平面PFC．
（3）解：∵PA⊥面ABCD，CB⊥AB，CB?平面ABCD，
∴CB⊥PB．
S_△PBC=$\frac{1}{2}PB•CB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×2=$\sqrt{2}$，S_△BCF=$\frac{1}{2}×BC×BF$=$\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
設(shè)F到平面PBC的距離為h．
∵V_F-PBC=V_P-BFC，
∴$\frac{1}{3}×$S_△PBC•h=$\frac{1}{3}×$S_△BCF×PA．
∴h=$\frac{\frac{1}{2}×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系與空間距離、線面平行與垂直的判定及其性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、三垂線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．