Question

1．已知圓x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點(diǎn)M（4，8），過(guò)M作圓的割線交圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，求AB的方程．

Answer 1

分析 由條件求得圓心P（2，-1）到直線AB的距離等于2，用點(diǎn)斜式設(shè)出設(shè)AB的方程，由弦心距d=$\frac{|2k+1-4k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k的值，可得直線AB的方程．

解答 解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4，代入圓P：x²+y²-4x+2y-3=0，解得y=-3，1，此時(shí)弦長(zhǎng)為4，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，圓P：x²+y²-4x+2y-3=0，即（ x-2）²+（y+1）²=8，由于弦長(zhǎng)AB=4，
可得弦心距d=2，即圓心P（2，-1）到直線AB的距離等于2．
設(shè)AB的方程為y-8=k（x-4），即 kx-y-4k+8=0，由d=$\frac{|2k+1-4k+8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=$\frac{77}{36}$，
故AB的方程為77x-36y-20=0，
綜上，符合條件的直線方程為77x-36y-20=0或x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．