Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R），求函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{a}{x}$的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由f（x）求導(dǎo)，確定出g（x），對(duì)g（x）求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，分情況來看單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=（x+1）lnx-a（x+1），定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$-a，
∴g（x）=lnx+1-a+$\frac{1-a}{x}$，定義域?yàn)椋?，+∞），
∵g′（x）=$\frac{x-（1-a）}{{x}^{2}}$，
①a≥1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②a＜1時(shí)，g′（x）=0得x=1-a，
∴g（x）在區(qū)間（0，1-a）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（1-a，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上所述：a≥1時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），
a＜1時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1-a，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是（0，1-a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類討論來看單調(diào)區(qū)間，時(shí)高考題目中經(jīng)常考查的點(diǎn)．