Question

19．求滿(mǎn)足下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（2，1）
（2）過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 （1）先求出c，再利用雙曲線(xiàn)與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（2，1），建立方程，求出a，b．即可求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)出方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵雙曲線(xiàn)與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（2，1）
∴$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{1}{^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx²-ny²=1（mn＞0），
∵雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，$\sqrt{7}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=1}\\{4m-7n=1}\end{array}\right.$，∴m=2，n=1，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力屬于中檔題．