Question

14．（1）已知0＜x＜$\frac{4}{3}$，求x（4-3x）的最大值．
（2）點(diǎn)（x，y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，求2^x+4^y的最小值．

Answer 1

分析 （1）0＜x＜$\frac{4}{3}$，則x（4-3x）=$\frac{1}{3}•3x•（4-3x）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由點(diǎn)（x，y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，可得2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵0＜x＜$\frac{4}{3}$，∴x（4-3x）=$\frac{1}{3}•3x•（4-3x）$≤$\frac{1}{3}（\frac{3x+4-3x}{2}）^{2}$=$\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
（2）∵點(diǎn)（x，y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，
∴2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴2^x+4^y的最小值為$4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．