Question

14．若tanα、tanβ是方程x${\;}^{2}+3\sqrt{3}$x+4=0的兩根，且-$\frac{π}{2}＜α$，$β＜\frac{π}{2}$，則α+β=-$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由tanα，tanβ是方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出tan（α+β）的值，然后根據(jù)兩根之和小于0，兩根之積大于0，得到兩根都為負(fù)數(shù)，根據(jù)α與β的范圍，求出α+β的范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答 解：依題意得tanα+tanβ=-3$\sqrt{3}$＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-3\sqrt{3}}{1-4}$=$\sqrt{3}$．
依題意知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴α∈（-$\frac{π}{2}$，0），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=-$\frac{2π}{3}$．
故答案為：-$\frac{2π}{3}$

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．本題的關(guān)鍵是找出α+β的范圍．