Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，實數(shù)a使得f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． [-2，0]
• C． （-2-2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}}）$）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 解法一：由條件得1-ax-x²＜2-a對于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分類討論，求最值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
解法二：由1-ax-x²＜2-a，得（1-x）a＜x²+1，對x討論，再分離參數(shù)，求最值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：法一：由條件得1-ax-x²＜2-a對于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x²+ax-a+1=（x+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1．
①當(dāng)-$\frac{a}{2}$＜0，即a＞0時，g（x）_min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②當(dāng)0≤-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤0時，g（x）_min=g（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1＞0，∴-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，故-2≤a≤0；
③當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2時，g（x）_min=g（1）=2＞0，滿足，故a＜-2．
綜上a＜1．
法二：由1-ax-x²＜2-a得（1-x）a＜x²+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①當(dāng)x=1時，0＜2恒成立，此時a∈R；
②當(dāng)x∈[0，1）時，a＜$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$恒成立．
求當(dāng)x∈[0，1）時，函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），則y=$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$=$\frac{（1-t）^{2}+1}{t}$=t+$\frac{2}{t}$-2，
而函數(shù)y=t+$\frac{2}{t}$-2是（0，1]上的減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=0時，y_min=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故選：A

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用分類討論的數(shù)學(xué)思想．