Question

7．甲、乙兩所學(xué)校的代表隊(duì)參加漢字聽寫大賽．在比賽第二階段，兩隊(duì)各剩最后兩名隊(duì)員上場．甲隊(duì)兩名隊(duì)員通過第二階段比賽的概率分別
是0.6和0.8，乙隊(duì)兩名隊(duì)員通過第二階段比賽的概率都是0.7．通過了第二階段比賽的隊(duì)員，才能進(jìn)入第三階段比賽（若某隊(duì)兩個(gè)隊(duì)員都沒有通過第二階段的比賽，則該隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽人數(shù)為0）．所有參賽隊(duì)員比賽互不影響，其過程、結(jié)果都是彼此獨(dú)立的．
（Ⅰ）求第三階段比賽，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)相等的概率；
（Ⅱ）X表示第三階段比賽甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）ξ、η分別表示甲、乙通過第二階段比賽的人數(shù)，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
根據(jù)題意得出P（ξ=0）=0.4×0.2，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8，
P（ξ=2）=0.6×0.8，P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3，P（η=2）=0.7²，
利用獨(dú)立事件，互斥事件的概率求解得出第三階段比賽，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)相等的概率
（II）根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2．結(jié)合（I）給出的數(shù)據(jù)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)ξ、η分別表示甲、乙通過第二階段比賽的人數(shù)，ξ、η的可能取值都是0，1，2．
P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，
P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48，
P（η=0）=0.3×0.3=0.09，P（η=1）=2×0.7×0.3=0.42，
P（η=2）=0.7²=0.49．
設(shè)參加第三階段比賽，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)相等為事件A，則
P（A）=0.08×0.09+0.44×0.42+0.48×0.49=0.4272．
答：第三階段比賽，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)相等的概率為0.4272
（Ⅱ）根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2．
由（Ⅰ）得，P（X=0）=P（A）=0.4272，
P（X=2）=0.48×0.09+0.49×0.08=0.0824，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-0.4272-0.0824=0.4904．
∴X的分布列是

X	0	1	2
P	0.4272	0.4904	0.0824

∴E（X）=0×0.4272+1×0.4904+2×0.0824=0.6552

點(diǎn)評 本題考察了學(xué)生的閱讀分析實(shí)際問題的能力，計(jì)算化簡能力，離散型的概率問題，確定隨機(jī)變量的概率的關(guān)系是關(guān)鍵．