Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-1（x＞0），設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1，0）（n∈N^*）
（1）用x_n表示x_n+1
（2）求證：x_n+1≤x_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件為x₁≥1．
（3）x₁=2，求證：$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…$\frac{1}{{x}_{n}+1}$≤$\frac{{2}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)函數(shù)f（x）=x²-1進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得到過(guò)曲線上點(diǎn)（x_n，f（x_n））的切線方程，然后令y=0得到關(guān)系式x_n²+1=2x_nx_n+1，整理即可得到答案；
（2）先由x_n+1≤x_n得到x₂≤x₁，再結(jié)合（1）中的結(jié)果可得到$\frac{1}{2}$（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）≤x₁，最后根據(jù)x₁＞0可得到必要性的證明；由x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）用數(shù)學(xué)歸納法可證明x_n+1≤x_n對(duì)一切正整數(shù)n成立；
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意證明n=k到n=k+1時(shí)，可結(jié)合分析法和基本不等式，即可得證．

解答 解：（1）由題可得f′（x）=2x，
所以在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線方程為y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n²-1）=2x_n（x-x_n），
令y=0，得-（x_n²-1）=2x_n（x_n+1-x_n），
即x_n²+1=2x_nx_n+1，顯然x_n≠0，
∴x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）；
（2）證明：（必要性）若對(duì)一切正整數(shù)n，x_n+1≤x_n，則x₂≤x₁，
即$\frac{1}{2}$（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）≤x₁，而x₁＞0，
∴x₁²≥1，即有x₁≥1；
（充分性）若x₁≥1＞0，由x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$），
用數(shù)學(xué)歸納法易得x_n＞0，從而x_n+1=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）≥$\sqrt{{x}_{n}•\frac{1}{{x}_{n}}}$=1（n≥1），
即x_n≥1（n≥2），又x₁≥1，
∴x_n≥1（n≥2）．
于是x_n+1-x_n=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$）-x_n=$\frac{1-{{x}_{n}}^{2}}{2{x}_{n}}$=$\frac{（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{2{x}_{n}}$≤0，
即x_n+1≤x_n對(duì)一切正整數(shù)n成立；
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{1}{3}$≤$\frac{2-1}{3}$，顯然成立，
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{\frac{5}{4}+1}$=$\frac{7}{9}$＜$\frac{{2}^{2}-1}{3}$，成立．
假設(shè)n=k時(shí)，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$≤$\frac{{2}^{k}-1}{3}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，要證$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，
由假設(shè)即證$\frac{{2}^{k}-1}{3}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，
即證$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k}}{3}$，
即證x_k+1≥$\frac{3}{{2}^{k}}$-1，
由x_k+1=$\frac{1}{2}$（x_k+$\frac{1}{{x}_{k}}$）≥1，$\frac{3}{{2}^{k}}$-1＜1，
則x_k+1≥$\frac{3}{{2}^{k}}$-1，顯然成立．
即有當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{k}+1}$+$\frac{1}{{x}_{k+1}+1}$≤$\frac{{2}^{k+1}-1}{3}$，成立．
故有$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}+1}$≤$\frac{{2}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線，以及不等式的證明：數(shù)學(xué)歸納法，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．