Question

8．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，f（-1）=0，且對?x∈R，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）-mx+1≤0的解集是空集，求實數(shù)m的取值的集合A．
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-mx+1=0的兩根為x₁，x₂，試問：是否存在實數(shù)n，使得不等式n²+tn+1≤|x₁-x₂|對?m∈A及t∈[-2，2]恒成立？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）使用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組，當(dāng)f（x）的二次系數(shù)a＞0時，f（x）≤0的解集是空集?△＜0，
（2）可將其轉(zhuǎn)化為求的關(guān)于n的不等式組．

解答 解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由題可知1≤f（2）≤1，
從而f（2）=1．
因此 $\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
故b=$\frac{1}{3}$-a，c=$\frac{1}{3}$-2a．由x-1≤f（x）恒成立得：ax²-（$\frac{2}{3}$+a）x+$\frac{4}{3}$-2a≥0對x∈R恒成立，
故△=（$\frac{2}{3}$+a）²-4a（$\frac{4}{3}$-2a）≤0，
即9a²-4a+$\frac{4}{9}$≤0，
解得a=$\frac{2}{9}$，
故f（x）=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{x}{9}$-$\frac{1}{9}$；
由$\frac{2}{9}$x²+$\frac{x}{9}$-$\frac{1}{9}$-mx+1≤0，
得2x²+（1-9m）x+8≤0，
故△=（1-9m）²-64＜0，
解得：-$\frac{7}{9}$＜m＜1，從而A=（-$\frac{7}{9}$，1）；
（2）顯然|x₁-x₂|≥0，當(dāng)且僅當(dāng)m=-$\frac{7}{9}$或m=1時取得等號，
故n²+tn+1≤0對t∈[-2，2]恒成立．記g（t）=n•t+（n²+1），
則有 $\left\{\begin{array}{l}{g（-2）{=n}^{2}-2n+1≤0}\\{g（2）{=n}^{2}+2n+1≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（n-1）}^{2}≤0}\\{{（n+1）}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
故n∈∅，不存在這樣的實數(shù)．

點評 解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在數(shù)量關(guān)系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在圖形上就是考查二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的關(guān)系．因此要熟練掌握“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，善于用轉(zhuǎn)化思想分析解決問題．