Question

3．若函數(shù)y=x²-2ax+a在x∈[1，3]上存在反函數(shù)，且|a-1|+|a-3|≤4，則a的取值范圍是[0，1]∪[3，4]．

Answer 1

分析 由反函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)y=x²-2ax+a在[1，3]上單調(diào)，從而a≥3或a≤1，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=x²-2ax+a在x∈[1，3]上存在反函數(shù)，
∴函數(shù)y=x²-2ax+a在[1，3]上單調(diào)，
∴對稱軸x=a在區(qū)間[1，3]之外，
∴a≥3或a≤1，
當a≥3時，有a-1+a-3≤4，解得3≤a≤4；
當a≤1時，有1-a+3-a≤4，∴0≤a≤1；
綜上得a的取值范圍是[0，1]∪[3，4]．
故答案為：[0，1]∪[3，4]．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意反函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．