Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：
（2）若對于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，（x＞0）．令f′（x）＜0，即$\frac{1}{x}$-2x+1＜0，解出即可得出；
（2）x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1化為：a＞$\frac{2lnx+2x+2}{{x}^{2}+2x}$=g（x），可得：對于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，?a＞g（x）_max，x＞0．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，（x＞0）．
令f′（x）＜0，即$\frac{1}{x}$-2x+1＜0，解得1＜x．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，+∞）．
（2）∵x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1化為：a＞$\frac{2lnx+2x+2}{{x}^{2}+2x}$=g（x），
∴對于任意的x＞0，不等式f（x）≤（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立，?a＞g（x）_max，x＞0．
g′（x）=$\frac{2（x+1）（1-lnx）}{（{x}^{2}+2x）^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得e＜x，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=e時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（e）=$\frac{4+2e}{{e}^{2}+2e}$=$\frac{2}{e}$．
∴a$＞\frac{2}{e}$．
∴整數(shù)a的最小值為1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．