Question

已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程為

x=tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)，θ為直線l的傾斜角），圓C的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ+12=0．
（Ⅰ）寫出直線l普通方程與圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C相切，求θ的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）當(dāng)θ≠

π

2

時，直線l的直角坐標方程為y=xtanθ，當(dāng)θ=

π

2

時，x=0．圓C的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ+12=0．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
（Ⅱ）當(dāng)直線l與圓C相切時，分類討論：當(dāng)θ=

π

2

時，x=0．此時直線與圓不相切．當(dāng)θ≠

π

2

時，利用直線與圓相切的性質(zhì)可得

|4tanθ|

1+tan2θ

=2，化簡解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為

x=tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)，θ為直線l的傾斜角），當(dāng)θ≠

π

2

時，直線l的直角坐標方程為y=xtanθ，當(dāng)θ=

π

2

時，x=0．
圓C的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ+12=0．∴x²+y²-8x+12=0，
圓C的直角坐標方程為（x-4）²+y²=4．
（Ⅱ）當(dāng)直線l與圓C相切時，①當(dāng)θ=

π

2

時，x=0．此時直線與圓不相切．
②當(dāng)θ≠

π

2

時，

|4tanθ|

1+tan2θ

=2，化為tanθ=±

3

3

，
∵θ∈[0，π），∴θ=

π

6

或θ=

5π

6

．
綜上可得：θ=

π

6

或θ=

5π

6

．

點評：本題考查了把參數(shù)方程、極坐標方程化為普通方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．